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DIVISIBILIDAD: M.C.M y M.C.D


DIVISIBILIDAD 28.9.2015

Si, en general,  D  : d = c + r    donde: D es el dividendo, d es el divisor, c es el cociente y r es el resto.

Se llama divisibilidad a una división exacta, es decir, a la que tiene un resto igual a cero.

Divisibilidad: D : d = c

Si observamos la última fórmula, podemos decir que:

D es múltiplo de d, porque al multiplicar d por c obtenemos D;   D = d · c

d es divisor de D, porque al dividir D entre d obtenemos c sin resto.

Múltiplo de un número: es un número que contiene al anterior un número exacto de veces.

Ej,: 18 es múltiplo de 2 porque 18 = 2 · 9   
Para indicar que 18 es múltiplo de 2, se escribe:  

Ej.: 36 es múltiplo de 4 porque 36 = 4 · 9
Para indicar que 36 es múltiplo de 4, se escribe:

Los múltiplos de 3 son:


Los múltiplos de 5 son:


Escribe los 10 primeros múltiplos de 6, 7, 8, 9, 10, y 11.












Demuestra que 156 es múltiplo de 3.



DIVISOR de un número

Divisor, o factor, de un número es el que divide a éste de forma exacta.

Ej.: 5 es factor de 35 porque:

      7 es factor de 35 porque:

      3 es factor de 399 porque:

      7 es divisor de 13993 porque:

Cualquier número entero a siempre tiene dos divisores o factores fijos, la unidad y él mismo, porque:



El divisor nunca puede ser cero.

1. Halla los divisores de 10:


2. Halla los divisores de 21:


3. Halla los divisores de 36:


4. ¿Es el 7 divisor de 671? ¿Por qué?



5. Calcula los divisores de 18:


6. Halla todos los divisores de 81:



7. Halla todos los divisores de 512:








CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

Los criterios de divisibilidad más importantes son:

  • Un número es divisible por 2 si acaba en cero o en cifra par.

  • Un número es divisible por 3 cuando la suma de todas sus cifras es 3 ó múltiplo de 3.

¿Es 438 divisible por 3? ¿Por qué?


  • Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

¿Es 564 múltiplo de 4? ¿Por qué?


  • Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o en 5.

¿Es 350 divisible por 5? ¿Por qué?


¿Es 725 divisible por 5? ¿Por qué?


  • Un número es divisible por 6 cuando lo es por 2 y por 3.

¿Es 336 divisible por 6? ¿Por qué?



  • Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus dígitos es 9 ó múltiplo de 9.

  • Un número es divisible por 10 cuando termina en 0.

  • Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de sus cifras pares y la de los impares es 0 ó múltiple de 11.

¿Es 1496 divisible por 11? ¿Por qué?



Halla otros dos números, de tres y cuatro cifras respectivamente, múltiplos de 11.







NÚMERO PRIMO
Un número primo es aquél que tiene sólo dos divisores,él mismo y la unidad.

Ej: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, …

NÚMERO COMPUESTO

Número compuesto es aquél que tiene tres o más divisores.

7. ¿Puede ser primo un número que acabe en 6? ¿Por qué?


8. ¿Cuál es el único número primo par?


9. ¿Son primos los números 17001 y 1347? ¿Por qué?


10. ¿Puede ser primo un número que acabe en 5? ¿Por qué?


DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

Cualquier número natural puede descomponerse como producto de factores primos. Para ello se divide el número por su factor más pequeño, y se continúa dividiendo los cocientes obtenidos hasta obtener como último cociente la unidad.

Podemos hacer lo anterior de la forma usual de la división o sino en forma de barra.

Número natural
Divisor primo
Cociente1
Divisor primo
Cociente2
Divisor primo
Cocienten
Divisor primo
1
1

11. Descompón en factores primos los números 540, 23100, 36 y 2475.




12. Descompón en factores primos el número 20002.



Si comparamos la descomposición en factores de dos o más números entre sí, puede ocurrir que éstos tengan factores comunes o no.

MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)

Se llama máximo común divisor (MCD) de dos o más números al producto de sus factores comunes elevados al menor exponente.

Entonces, si queremos saber el MCD de dos o más números debemos descomponerlos en factores y multiplicar los comunes al menor exponente.

13. Halla el MCD de 504, 147 y 42.







14. Calcula el MCD de 42 y 147.






15. Halla el MCD de 69, 45,  y 27.





Dos números son primos entre sí si su MCD = 1, es decir, no tienen otro factor común aparte de la unidad.

16. Halla el MCD de 21 y 8.



17. Halla el MCD de 35 y 49.




18. ¿Son primos entre sí 13 y 66? ¿Por qué?




La utilidad del MCD es que sirve para simplificar fracciones (Dividimos numerador y denominador por MCD) o amplificarlas (multiplicamos numerador y denominador por su MCD)

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm)

Se llama mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números al producto de sus factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente.

Entonces, si queremos saber el mcm de dos o más números debemos descomponerlos en factores y multiplicar los comunes y no comunes al mayor exponente.

19. Calcula el mcm de 504, 147 y 42.





20. Calcula el mcm de 54 y 1682.





21. Calcula el mcm de 12 y 45.






La utilidad del mcm estriba en que lo utilizamos para poner un denominador común a fracciones que no lo tienen y que queremos sumar o restar.