DIVISIBILIDAD 28.9.2015
Si, en general, D : d = c + r donde: D
es el dividendo, d es el divisor, c es el cociente y r es el resto.
Se llama divisibilidad a una división exacta, es decir, a la que
tiene un resto igual a cero.
Divisibilidad: D : d = c
Si observamos la última fórmula, podemos decir que:
D es múltiplo de d, porque al
multiplicar d por c obtenemos D; D = d
· c
d es divisor de D, porque al
dividir D entre d obtenemos c sin resto.
Múltiplo de un número:
es un número que contiene al anterior un número exacto de veces.
Ej,: 18 es múltiplo de 2 porque 18 = 2 · 9
Para indicar que 18 es múltiplo de 2, se escribe: 
Ej.: 36 es múltiplo de 4 porque 36 = 4 · 9
Para indicar que 36 es múltiplo de 4, se escribe: 
Los múltiplos de 3 son:
Los múltiplos de 5 son:
Escribe los 10
primeros múltiplos de 6, 7, 8, 9, 10, y 11.
Demuestra que 156 es
múltiplo de 3.
DIVISOR de un número
Divisor, o factor, de un número es el que divide a
éste de forma exacta.
Ej.: 5 es factor de 35 porque:
7 es factor de 35 porque:
3 es factor de 399 porque:
7 es divisor de 13993 porque:
Cualquier número entero a
siempre tiene dos divisores o factores fijos, la unidad y él mismo, porque:
El divisor nunca puede ser cero.
1. Halla los divisores de 10:
2. Halla los divisores de 21:
3. Halla los divisores de 36:
4. ¿Es el 7 divisor de 671? ¿Por qué?
5. Calcula los divisores de 18:
6. Halla todos los divisores de 81:
7. Halla todos los divisores de 512:
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CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.
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Los criterios de divisibilidad más importantes son:
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¿Es 438 divisible por 3? ¿Por qué?
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¿Es 564 múltiplo de 4? ¿Por qué?
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¿Es 350 divisible por 5? ¿Por qué?
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¿Es 725 divisible por 5? ¿Por qué?
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¿Es 336 divisible por 6? ¿Por qué?
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¿Es 1496 divisible por 11? ¿Por qué?
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Halla otros dos
números, de tres y cuatro cifras respectivamente, múltiplos de 11.
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NÚMERO PRIMO
Un número primo es aquél que
tiene sólo dos divisores,él mismo y
la unidad.
Ej: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, …
NÚMERO COMPUESTO
Número compuesto es aquél que
tiene tres o más divisores.
7. ¿Puede ser primo un número que acabe en 6? ¿Por qué?
8. ¿Cuál es el único número primo par?
9. ¿Son primos los números 17001 y 1347? ¿Por qué?
10. ¿Puede ser primo un número que acabe en 5? ¿Por qué?
DESCOMPONER UN NÚMERO
EN FACTORES PRIMOS
Cualquier número natural puede descomponerse como producto de factores
primos. Para ello se divide el número por su factor más pequeño, y se continúa
dividiendo los cocientes obtenidos hasta obtener como último cociente la
unidad.
Podemos hacer lo anterior de la forma usual de la división o sino en forma
de barra.
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Número natural
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Divisor primo
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Cociente1
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Divisor primo
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Cociente2
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Divisor primo
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…
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…
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Cocienten
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Divisor primo
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1
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1
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11. Descompón en
factores primos los números 540, 23100, 36 y 2475.
12. Descompón en
factores primos el número 20002.
Si comparamos la
descomposición en factores de dos o más números entre sí, puede ocurrir que
éstos tengan factores comunes o no.
MAXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Se llama máximo
común divisor (MCD) de dos o más
números al producto de sus factores comunes elevados al menor exponente.
Entonces, si
queremos saber el MCD de dos o más números debemos descomponerlos en factores y
multiplicar los comunes al menor exponente.
13. Halla el MCD
de 504, 147 y 42.
14. Calcula el MCD
de 42 y 147.
15. Halla el MCD
de 69, 45, y 27.
Dos números son primos entre sí si su MCD = 1, es
decir, no tienen otro factor común aparte de la unidad.
16. Halla el MCD
de 21 y 8.
17. Halla el MCD
de 35 y 49.
18. ¿Son primos
entre sí 13 y 66? ¿Por qué?
La utilidad del
MCD es que sirve para simplificar
fracciones (Dividimos numerador y denominador por MCD) o amplificarlas
(multiplicamos numerador y denominador por su MCD)
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (mcm)
Se llama mínimo
común múltiplo (mcm) de dos o más
números al producto de sus factores comunes y no comunes elevados
al mayor exponente.
Entonces, si
queremos saber el mcm de dos o más números debemos descomponerlos en factores y
multiplicar los comunes y no comunes al mayor exponente.
19. Calcula el mcm
de 504, 147 y 42.
20. Calcula el mcm
de 54 y 1682.
21. Calcula el mcm
de 12 y 45.
La utilidad del
mcm estriba en que lo utilizamos para poner un denominador común a fracciones que no lo tienen y que queremos
sumar o restar.
